Question

8．如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90℃，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形，平面ABCD⊥平面PBD．
（I）证明：CD⊥平面PBD；
（II）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （I）取BC中点E，推导出四边形ABED为正方形，从而CD⊥BD，由此能证明CD⊥平面PBD．
（II）由（I）知CD⊥平面PBD，从而CD⊥PD．取PD的中点F，PC的中点G，连结FG，连结AF，得∠AFG为二面角A-PD-C的平面角，由此能示出二面角A-PD-C的余弦值．

解答 证明：（I）取BC中点E，连结AE、BD，
∵△PAB和△PCD都是等边三角形，∴AD=AB，
∵∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，∴四边形ABED为正方形，
设AB=2，则BD=CD=2$\sqrt{2}$，BC=4，
∴BD²+CD²=BC²，
∴CD⊥BD，
∵平面ABCD⊥平面PBD，平面ABCD∩平面PBD=BD，
∴CD⊥平面PBD．
解：（II）由（I）知CD⊥平面PBD，又PD?面PBD，∴CD⊥PD．
取PD的中点F，PC的中点G，连结FG，
则FG∥CD，FG⊥PD．
连结AF，由△APD为等边三角形，得AF⊥PD．
∴∠AFG为二面角A-PD-C的平面角．
连结AG、EG，则EG∥PB．
又PB⊥AE，∴EG⊥AE，
设AB=2，则AE=2$\sqrt{2}$，EG=$\frac{1}{2}PB$=1，
AG=$\sqrt{A{E}^{2}+E{G}^{2}}$=3，
在△AFG中，FG=$\frac{1}{2}CD$=$\sqrt{2}$，AF=$\sqrt{3}$，AG=3，
∴cos∠AFG=$\frac{F{G}^{2}+A{F}^{2}-A{G}^{2}}{2×FG×AF}$=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴二面角A-PD-C的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求不地，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．