Question

如图，正方形ABCD所在平面与等腰三角形EAD所在平面相交于AD，AE⊥平面CDE．
（I）求证：AB⊥平面ADE；
（II）（理）在线段BE上存在点M，使得直线AM与平面EAD所成角的正弦值为

6

3

，试确定点M的位置．
（文）若AD=2，求四棱锥E-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（I）要证AB⊥平面ADE，由于CD∥AB，可通过证明CD⊥平面ADE得出．由已知，AE⊥平面CDE证出AE⊥CD，再由正方形ABCD中AD⊥CD即可证明CD⊥平面ADE．
（II）（理）存在点M，此时M为BE中点．取AE中点H，连接MH，可以得出MH⊥平面ADE，∠HAM为直线AM与平面EAD所成角的平面角，在直角△HAM中，可以求出sin∠HAM=

6

3

．
（文）由（I）证得AB⊥平面ADE，从而平面ADE⊥平面ABCD．取AD中点O，连接EO，EO⊥AD，得出EO⊥平面ABCD，EO为E到底面ABCD的距离．分别求出EO，底面ABCD的面积，再代入锥体体积公式计算．

解答：（I）证明：∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD，
正方形ABCD中AD⊥CD，
∵AE∩AD=A，∴CD⊥平面ADE，
∵CD∥AB，∴AB⊥平面ADE．
（II）解：（理）在线段BE上存在点M，此时M为BE中点．

取AE中点H，连接MH，则MH是△EBA的中位线，MH∥AB，MH=

1

2

AB，
由（I）证得AB⊥平面ADE，
∴MH⊥平面ADE，AH为AM在平面ADE内的射影，
∴∠HAM为直线AM与平面EAD所成角的平面角．
设正方形ABCD边长AD=AB=2，则等腰直角三角形EAD的腰AE=

2

，在直角△HAM中，AH=

1

2

AE=

2

2

，MH=

1

2

AB=1，斜边AM=

( 1 2 )2+ ( 2 2 )2

=

6

2

，
∴sin∠HAM=

MH

AM

=

1

6 2

=

6

3

．
（文）由（I）证得AB⊥平面ADE，AB?平面ABCD，
∴平面ADE⊥平面ABCD．取AD中点O，连接EO，EO⊥AD，
∴EO⊥平面ABCD，EO为E到底面ABCD的距离．
若AD=2，则等腰直角三角形EAD斜边中线EO=

1

2

AD=1，
四棱锥E-ABCD的体积V=

1

3

EO×S_ABCD=

1

3

×1×22=

4

3

．

点评：本题考查空间直线、平面位置关系的判断，线面角大小度量，几何体体积计算．考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．