Question

已知函数f(x)=lnx+

1-x

ax

，其中a为大于零的常数，若函数f（x）在区间[1，+∞）内调递增，则a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，1]
• B、（-∞，-1]
• C、[1，+∞）
• D、[-1，+∞）

Answer 1

分析：先由函数求导，再由“函数f（x）在区间[1，+∞）内调递增”转化为“f′（x）≥0在区间[1，+∞）内恒成立”即

1

x

-

1

ax2

≥0在区间[1，+∞）内恒成立，再令t=

1

x

∈（0，1]转化为：-

1

a

t2+t≥0在区间（0，1]内恒成立，用二次函数法求其最值研究结果．

解答：解：∵函数f(x)=lnx+

1-x

ax

，其中a为大于零
∴f′（x）=

1

x

-

1

ax2

∵函数f（x）在区间[1，+∞）内调递增，
∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）内恒成立，
∴

1

x

-

1

ax2

≥0在区间[1，+∞）内恒成立，
令t=

1

x

∈（0，1]
∴-

1

a

t2+t≥0在区间（0，1]内恒成立，
∴-

1

a

+1≥0
∴a≥1
故选C

点评：本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．