Question

已知函数f(x)=2cos2(x+

π

12

)+sin2x．
（1）若f（α）=1，α∈（0，π），求α的值；
（2）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：利用二倍角余弦公式及和差角公式把已知化简可得，f（x）=sin(2x+

π

3

)+1①
（1）把α代入①可得sin(2α+

π

3

)=0结合α的范围可求α的值．
（2）结合正弦函数的单调增区间及复合函数的单调性，令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+ 2kπ(k∈Z)，解出 x的区间即为函数的单调增区间．

解答：解：f(x)=1+cos(2x+

π

6

)+sin2x（2分）
=1+cos2xcos

π

6

-sin2xsin

π

6

+sin2x
=1+

3

2

cos2x+

1

2

sin2x（4分）
=sin(2x+

π

3

)+1．（6分）

（1）f(α)=sin(2α+

π

3

)+1=1，
∴sin(2α+

π

3

)=0；2α+

π

3

=kπ，α=

kπ

2

-

π

6

（k∈z），
又∵α∈（0，π）∴α=

π

3

或

5π

6

（8分）
（2）f（x）单调增，故2x+

π

3

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，（10分）
即x∈[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

](k∈Z)，
从而f（x）的单调增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

](k∈Z)．（12分）

点评：利用三角公式对三角函数化简，然后借助辅助角公式asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)（其中tanθ=

b

a

）求解三角函数的问题是历年高考中使用频率相当高的，应加以关注，此外降幂公式cos2α=

1+cos2α

2

，sin2α=

1-cos2α

2

也要熟练掌握．