Question

（2013•梅州二模）已知函数f（x）=

lnx

x

的图象为曲线C，函数g（x）=

1

2

ax+b的图象为直线l．
（1）当a=2，b=-3时，求F（x）=f（x）-g（x）的最大值；
（2）设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x₁，x₂，且x₁≠x₂，求证：（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2．

Answer 1

分析：（1）由a=2，b=-3，知F′(x)=

1-lnx

x2

-1=

1-lnx-x2

x2

=0⇒x=1，x∈（0，1），F'（x）＞0，F'（x）单调递增，x∈（1，+∞），F'（x）＜0，F'（x）单调递减，由此能求出F（x）=f（x）-g（x）的最大值．
（2）设x₁＜x₂，要证（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2，只需证(x1+x 2)[

1

2

a(x1+x2)+b]＞2，由此入手，能够证明（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2．

解答：解：（1）∵a=2，b=-3∴F(x)=

lnx

x

-x+3，
F′(x)=

1-lnx

x2

-1=

1-lnx-x2

x2

=0⇒x=1，
x∈（0，1），F'（x）＞0，F'（x）单调递增，
x∈（1，+∞），F'（x）＜0，F'（x）单调递减，
∴F（x）_max=F（1）=2
（2）不妨设x₁＜x₂，要证（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2，只需证(x1+x 2)[

1

2

a(x1+x2)+b]＞2，

1

2

a(x1+x2)+b＞

2

x1+x2

⇒

1

2

a(

x

2 2

-

x

2 1

)+b(x2-x1)＞

2(x2-x1)

x1+x2

，

1

2

a

x

2 2

+bx2-(

1

2

a

x

2 1

+bx1)＞

2(x2-x1)

x1+x2

，
∵

lnx1

x1

=

1

2

ax1+b，

lnx2

x2

=

1

2

ax2+b，
∴lnx2-lnx1＞

2(x2-x1)

x2+x1

，即 ln

x2

x1

＞

2(x2-x1)

x2+x1

，∴(x2+x1)ln

x2

x1

＞2(x2-x1)，
令H(x)=(x+x1)ln

x

x1

-2(x-x1)，x∈（x₁，+∞）．只需证H(x)=(x+x1)ln

x

x1

-2(x-x1)＞0=H(x1)，
H′(x)=ln

x

x1

+

x1

x

-1，令 G(x)=ln

x

x1

+

x1

x

-1，则 G′(x)=

x-x1

x2

＞0，G（x）在x∈（x₁，+∞）单调递增．
G（x）＞G（x₁）=0，∴H′（x）＞0，∴H（x）在x∈（x₁，+∞）单调递增．H（x）＞H（x₁）=0，
H（x）=（x+x₁）ln

x

x1

-2（x-x₁）＞0，∴（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2．

点评：本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．