Question

1．已知f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2^x．
（1）求函数f（x）的解析式及其值域；
（2）设x₀是方程f（x）=4-x的解，且x₀∈（n，n+1），n∈Z，求n的值；
（3）若存在x≥1，使得（a+x）f（x）＜1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的对称性即可求函数f（x）的解析式及其值域；
（2）根据函数和方程之间的关系进行求解即可；
（3）构造函数，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．

解答 解：（1）若x＜0，则-x＞0，
则当-x＞0时，f（-x）=2^-x．
∵函数f（x）是奇函数，
∴f（-x）=2^-x=-f（x），
则f（x）=-2^-x，x＜0，
当x=0时，f（0）=0，
则$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}\;，\;\;x＞0\;，\;\;\\ 0\;，\;\;x=0\;，\;\;\\-{2^{-x}}\;，\;\;x＜0\;．\;\;\end{array}\right.$…3分
值域为（-∞，-1）∪{0}∪（1，+∞）．…5分
（2）令$g（x）=f（x）-（4-x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}+x-4\;，\;\;x＞0\;，\;\;\\-4\;，\;\;x=0\;，\;\;\\-{2^{-x}}+x-4\;，\;\;x＜0\;．\;\;\end{array}\right.$
显然x=0不是方程f（x）=4-x的解．
当x＜0时，g（x）=-2^-x+x-4＜0，
∴方程f（x）=4-x无负数解．  …7分
当x＞0时，g（x）=2^x+x-4单调递增，所以函数g（x）至多有一个零点；…8分
又g（1）=-1＜0，g（2）=2＞0，由零点存在性原理知g（x）在区间（1，2）上至少有一个零点．   …9分
故g（x）的惟一零点，即方程f（x）=4-x的惟一解x₀∈（1，2）．
所以，由题意，n=1． …10分
（3）设h（x）=2^-x-x，则h（x）在[1，+∞）上递减．
∴$h{（x）_{max}}=h（1）=-\frac{1}{2}$．…13分
当x≥1时，f（x）=2^x，不等式（a+x）f（x）＜1，即a＜2^-x-x．
∴当$a＜-\frac{1}{2}$时，存在x≥1，使得a＜2^-x-x成立，
即关于x的不等式（a+x）f（x）＜1有不小于1的解．…16分．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，函数与方程以及利用函数的单调性求函数的值域问题，综合考查函数的性质．