Question

6．数列{a_n}中，a₁=1，${a_2}=\frac{2}{3}$，且$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{2}{a_n}（a∈{N^*}，n≥2）$，则a₆=（　　）

• A． $\frac{1}{7}$
• B． $\frac{2}{7}$
• C． $\frac{7}{2}$
• D． 7

Answer 1

分析 通过$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{2}{a_n}（a∈{N^*}，n≥2）$、a₁=1、${a_2}=\frac{2}{3}$易知数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项、$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，进而计算可得结论．

解答 解：∵$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{2}{a_n}（a∈{N^*}，n≥2）$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为等差数列，
又∵a₁=1，${a_2}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{3}{2}$，
即数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项、$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$（n+1），
∴a_n=$\frac{2}{n+1}$，
∴a₆=$\frac{2}{7}$，
故选：B．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．