Question

8．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若a=2，cosA=$\frac{1}{3}$，则△ABC面积的最大值为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用余弦定理得出4=b²+c²-$\frac{2}{3}$bc，再利用基本不等式求出bc≤3，根据△ABC的面积公式即可求出它的最大值．

解答 解：△ABC中，a=2，cosA=$\frac{1}{3}$，
由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
即4=b²+c²-$\frac{2}{3}$bc；
又4=b²+c²-$\frac{2}{3}$bc≥2bc-$\frac{2}{3}$bc=$\frac{4}{3}$bc，
当且仅当b=c时取“=”；
∴bc≤3，
∴△ABC的面积为
S=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{1{-（\frac{1}{3}）}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
即△ABC面积的最大值为$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了余弦定理和△ABC面积公式的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合性题目．