Question

16．若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\end{array}\right.$且最大值为40，则$\frac{5}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式进行求则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率$-\frac{a}{b}＜0$，
作出不等式对应的平面区域如图：
平移直线得$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，由图象可知当直线$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$经过点A时，直线$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$的截距最大，此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-6=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=10}\end{array}\right.$，即A（8，10），
此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为40，
即8a+10b=40，∴$\frac{1}{5}$a+$\frac{1}{4}$b=1，
$\frac{5}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{5}{a}$+$\frac{1}{b}$）×1=（$\frac{5}{a}$+$\frac{1}{b}$）×（$\frac{1}{5}$a+$\frac{1}{4}$b）
=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{5b}{4a}$+$\frac{a}{5b}$≥$\frac{5}{4}$+2$\sqrt{\frac{5b}{4a}•\frac{a}{5b}}$=$\frac{5}{4}$+2×$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{4}$+1=$\frac{9}{4}$，
当且仅当$\frac{5b}{4a}$=$\frac{a}{5b}$，即2a=5b时取等号．
故$\frac{5}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为$\frac{9}{4}$
故答案为：$\frac{9}{4}$

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．