Question

【题目】数列为递增的等比数列, ，

数列满足．

（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证： 是等差数列；

（Ⅲ）设数列满足，且数列的前项和，并求使得对任意都成立的正整数的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2） 是首项为1，公差为2的等差数列． （3）4

【解析】试题分析：（1）根据{an}为递增的等比数列且a32=a1a5，得到a1=1，a3=4，a5=16，进而求得an，bn的通项公式；（2）利用等差数列定义加以证明;（3）利用裂项相消法求数列的前n项和，再用分离参数法和单调性求m的最小值．

试题解析：

（1）数列为递增的等比数列，则其公比为正数，又，当且仅当时成立。此时公比 所以．

（2） 因为 ，所以，即．

所以是首项为，公差为2的等差数列．

（3），所以．

，

，n∈N*，即数列{Tn}是递增数列．∴当n=1时，Tn取得最小值，

要使得对任意n∈N*都成立，结合（Ⅰ）的结果，只需，

，故正整数m的最小值为4.