Question

17．如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心．在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2．
（1）求sin∠ABC的大小；
（2）设∠ADB=θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理，即可求sin∠ABC的大小；
（2）确定函数解析式，利用导数方法求最值．

解答 解：（1）在△ABC中，cos∠ABC=$\frac{900+4900-6400}{2×30×70}$=-$\frac{1}{7}$ …（3分）
所以sin∠ABC=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．…（5分）
（2）在△ABD中，由$\frac{30}{sinθ}=\frac{AD}{\frac{4\sqrt{3}}{7}}=\frac{BD}{-\frac{1}{7}sinθ+\frac{4\sqrt{3}}{7}cosθ}$得：
AD=$\frac{120\sqrt{3}}{7sinθ}$，BD=$\frac{120\sqrt{3}cosθ}{7sinθ}$-$\frac{30}{7}$       …（9分）
设水路运输的每百人每公里的费用为k元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k元，
则运输总费用y=（5CD+3BD）×2k+8k×AD=20k（35+$\frac{6}{7}$+$\frac{24\sqrt{3}}{7}$-$\frac{2-cosθ}{sinθ}$）    …（11分）
令H（θ=$\frac{2-cosθ}{sinθ}$，则H′（θ）=$\frac{1-2cosθ}{si{n}^{2}θ}$．
当0＜θ＜$\frac{π}{3}$时，H′（θ）＜0，H（θ）单调减；当$\frac{π}{3}$＜θ＜$\frac{π}{2}$时，H′（θ）＞0，H（θ）单调增
∴θ=$\frac{π}{3}$时，H（θ）取最小值，同时y也取得最小值．               …（14分）
此时BD=$\frac{90}{7}$，满足0＜$\frac{90}{7}$＜70，所以点D落在BC之间
所以θ=$\frac{π}{3}$时，运输总成本最小．
答：θ=$\frac{π}{3}$时，运输总成本最小．                                …（16分）

点评 本题考查导数知识的运用，考查余弦定理，属于中档题．