Question

已知函数f(x)=

2x+1

2x-1

．
（1）证明：函数f（x）在区间（

1

2

，+∞）上单调递减．
（2）若对于区间[1，3]上每一x值，不等式f（x）＞|x-2|+m恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据单调性的定义，设

1

2

＜x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），进行化简，判断其符号，从而证得结论；
（2）利用含有绝对值的不等式的解法将不等式f（x）＞|x-2|+m恒成立，转化为m＜f（x）+x-2对x∈[1，3]恒成立且m＜f（x）-x+2对x∈[1，3]恒成立，进而转化为求函数的最值，最后求两种情况的交集，即可求得m的取值范围．

解答：解：（1）f(x)=

2x+1

2x-1

=1+

1

x- 1 2

，
设

1

2

＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（1+

1

x1- 1 2

）-（1+

1

x2- 1 2

）=

x2-x1

(x1- 1 2 )(x2- 1 2 )

，
∵

1

2

＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁-

1

2

＞0，x₂-

1

2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在区间（

1

2

，+∞）上单调递减；
（2）∵对于区间[1，3]上每一x值，不等式f（x）＞|x-2|+m恒成立，
∴|x-2|＜f（x）+m，即-f（x）+m+2＜x＜f（x）+2-m对x∈[1，3]恒成立，
①-f（x）+m+2＜x对x∈[1，3]恒成立，即m＜f（x）+x-2对x∈[1，3]恒成立，
∴m＜[f（x）+x-2]_min，
令g（x）=f（x）+x-2=x+

1

x- 1 2

-1=x-

1

2

+

1

x- 1 2

-

1

2

≥2

(x- 1 2 ) 1 x- 1 2

-

1

2

=

3

2

，
当且仅当x-

1

2

=

1

x- 1 2

，即x=

3

2

时取等号，
∴m＜

3

2

；
②x＜f（x）+2-m对x∈[1，3]恒成立，即m＜f（x）-x+2对x∈[1，3]恒成立，
∴m＜[f（x）-x+2]_min，
由（1）可知y=f（x）在[1，3]上单调递减，y=-x+2在[1，3]上单调递减，
∴h（x）=f（x）-x+2=

1

x- 1 2

-x+3在[1，3]上单调递减，
∴h（x）_min=h（3）=

1

3- 1 2

-3+3=

2

5

，
∴m＜

2

5

．
综合①②，可得m＜

2

5

，
故实数m的取值范围为m＜

2

5

．

点评：本题考查了函数单调性的定义，函数的恒成立问题．对于函数单调性的证明一般选用定义法，要注意证明过程的步骤，特别是作差以后要进行化简，直到能直接判断符号为止．对于恒成立问题，一般选用参变量分离法转化为求函数的最值．属于中档题．