Question

2．已知函数f（x）=2sinxcosx-2$\sqrt{3}$cos²x+$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）都在y=f²（x）的图象上，且满足x₁=$\frac{π}{6}$，x_n+1=x_n+$\frac{π}{4}$，求y₁+y₂+…+y₂₀₁₁的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用二倍角的正弦、余弦公式，以及两角差的正弦公式，由正弦函数的增区间，解不等式即可得到所求区间；
（Ⅱ）运用等差数列的通项公式，可得x_n=x₁+（n-1）•$\frac{π}{4}$=$\frac{πn}{4}$-$\frac{π}{12}$，代入y=f（x），化简整理可得y_n=f²（x_n）=4cos²$\frac{nπ}{2}$，讨论n的奇偶性，即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=2sinxcosx-2$\sqrt{3}$cos²x+$\sqrt{3}$
=sin2x-$\sqrt{3}$（2cos²x-1）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
即有f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z；
（Ⅱ）x₁=$\frac{π}{6}$，x_n+1=x_n+$\frac{π}{4}$，可得x_n=x₁+（n-1）•$\frac{π}{4}$=$\frac{πn}{4}$-$\frac{π}{12}$，
f（x_n）=2sin（2x_n-$\frac{π}{3}$）=2sin（$\frac{nπ}{2}$-$\frac{π}{2}$）=-2cos$\frac{nπ}{2}$，
y_n=f²（x_n）=4cos²$\frac{nπ}{2}$，
则y_n=$\left\{\begin{array}{l}{0，n为奇数}\\{4，n为偶数}\end{array}\right.$，
可得y₁+y₂+…+y₂₀₁₁=0+4+0+4+…+0=4×1005=4020．

点评 本题考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和两角差的正弦公式，考查正弦函数的单调性，同时考查等差数列的通项公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．