Question

已知函数f(x)=log2

x

-log

1

2

x，数列{an}的前n项和为Sn，f(2an)=6n-

9

2

，n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设bn=

Sn

n+λ

，cn=bn•2bn，若非零常数λ使得{b_n}为等差数列，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）根据对数的运算性质，可将f(x)=log2

x

-log

1

2

x的解析式化简为f(x)=

3

2

log2x，进而由对数的运算性质，结合f(2an)=6n-

9

2

，求出数列{a_n}的通项公式；
（II）结合bn=

Sn

n+λ

，cn=bn•2bn，且{b_n}为等差数列，可求出λ的值，进而求出数列{c_n}的通项公式，利用错位相减法，得到数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：解：（I）∵f(x)=log2

x

-log

1

2

x=log2x

1

2

+log₂x=

1

2

log₂x+log₂x=

3

2

log2x
∴f(2an)=6n-

9

2

=

3

2

log2(2an)=

3

2

an，
故a_n=4n-3
（II）由（I）得S_n=2n²-n，要使bn=

Sn

n+λ

=

2n(n- 1 2 )

n+λ

为等差数列的通项公式
则b_n=

2n(n- 1 2 )

n+λ

应是关于n的一次函数，又由λ≠0
故λ=-

1

2

此时b_n=2n，cn=bn•2bn=2n•4ⁿ，
故T_n=2•4¹+2×2•4²+…+2（n-1）•4^n-1+2n•4ⁿ，…①
4T_n=0+2•4²+4•4³+…+2（n-1）•4ⁿ+2n•4ⁿ⁺¹，…②
①-②得：
-3T_n=2•4¹+2•4²+…+2•4ⁿ-2n•4ⁿ⁺¹=（

2

3

-2n）4ⁿ⁺¹-

8

3

∴T_n=（

2

3

n-

2

9

）4ⁿ⁺¹+

8

9

点评：本题考查的知识点是等差数列的通项公式，对数的运算性质，数列求和，是对数与数列的综合应用，难度较大．