Question

已知等差数列{a_n}满足a₁=3，a₄+a₅+a₆=45．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{

1

anan+1

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由a₄+a₅+a₆=45可求a₅，由等差数列通项公式可求公差d，从而可得a_n；
（Ⅱ）表示出

1

anan+1

，拆项后利用裂项相消法可求T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₄+a₅+a₆=45，
∴3a₅=45，a₅=15，
∵a₁=3，
∴d=

a5-a1

5-1

=

15-3

4

=3，
∴a_n=3n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）a_n=3n，a_n+1=3（n+1），
则

1

anan+1

=

1

3n•3(n+1)

=

1

9

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

1

9

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

9

(1-

1

n+1

)=

n

9(n+1)

．

点评：该题考查等差数列的通项公式、数列求和，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．