Question

11．对于a不同的取值范围，讨论方程x²-|x|+a=1的实数个数．

Answer 1

分析 方程x²-|x|+a=1即为方程x²-|x|=1-a，设y=x²-|x|，作出函数的图象，通过对1-a的讨论，即可得到所求根的个数．

解答 解：方程x²-|x|+a=1即为
方程x²-|x|=1-a，
设y=x²-|x|，作出函数的图象，如右．
当x=±$\frac{1}{2}$时，y=-$\frac{1}{4}$，
由图象可得当1-a＞0或1-a=-$\frac{1}{4}$，即a＜1或a=$\frac{5}{4}$时，
直线y=1-a与f（x）的图象有两个交点，方程有两个根；
当1-a=0即a=1时，
直线y=1-a与f（x）的图象有三个交点，方程有三个根；
当-$\frac{1}{4}$＜1-a＜0，即1＜a＜$\frac{5}{4}$时，
直线y=1-a与f（x）的图象有四个交点，方程有四个根；
当1-a＜-$\frac{1}{4}$，即a＞$\frac{5}{4}$时，
直线y=1-a与f（x）的图象没有交点，方程没有实根．

点评 本题考查方程根的个数，考查函数和方程的转化思想，注意运用数形结合和分类讨论的思想方法，属于中档题．