Question

8．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条体对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形的序号是①④⑤（写出所有符合要求的图形序号）．

请证明你所选序号其中的一个．

Answer 1

分析 设定正方体的顶点如图，连结DB，AC，根据M，N分别为中点，判断出MN∥BD，由四边形ABCD为正方形，根据线面垂直的判定定理推断出AC⊥平面DBB′，根据线面垂直的性质以及性质进行证明．④中由①中证明可知l⊥MP，根据MN∥BDAC⊥l，推断出l⊥MN，进而根据线面垂直的判定定理推断出l⊥平面MNP，同理可证明⑤中l⊥平面MNP．

解答 证明：（1）已知正方体的顶点如图连结DB，AC，
∵M，N分别为中点，
∴MN∥BD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∵BB′⊥平面ABCD，
∴MN⊥平面AC'，
∴l⊥MN，
∴同理l⊥MP，
∴l⊥平面MNP，故①正确．
④中由①中证明可知l⊥MP，
∵MN∥AC，
AC⊥l，
∴l⊥MN，
∴l⊥平面MNP，
同理可证明⑤中l⊥平面MNP．
故答案为：①④⑤

点评 本题主要考查了线面垂直的判定定理．考查了学生空间思维能力和观察能力．