Question

3．已知函数f（x）=log_a$\frac{x+1}{x-1}$（a＞0，且a≠1）
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）若对于x∈[2，4]，恒有f（x）＞log_a$\frac{m}{（x-1）•（7-x）}$成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义进行判断．
（2）根据对数函数的单调性，将不等式恒成立进行转化，利用参数分离法进行求解即可．

解答 解：（1）因为$\frac{x+1}{x-1}$＞解得x＞1或x＜-1，
所以函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
函数f（x）为奇函数，证明如下：
由（I）知函数f（x）的定义域关于原点对称，
又因为f（-x）=log_a$\frac{-x+1}{-x-1}$=log_a$\frac{x-1}{x+1}$=log_a（$\frac{x+1}{x-1}$）^-1=-log_a$\frac{x+1}{x-1}$=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数…（4分）
（2）若对于x∈[2，4]，f（x）＞log_a$\frac{m}{（x-1）•（7-x）}$恒成立
即log_a$\frac{x+1}{x-1}$＞log_a$\frac{m}{（x-1）•（7-x）}$对x∈[2，4]恒成立
当a＞1时，即$\frac{x+1}{x-1}$＞$\frac{m}{（x-1）•（7-x）}$对x∈[2，4]成立．
则x+1＞$\frac{m}{7-x}$，即（x+1）（7-x）＞m成立，
设g（x）=（x+1）（7-x）=-（x-3）²+16，
因为x∈[2，4]
所以g（x）∈[15，16]，
则0＜m＜15，
同理当0＜a＜1时，即$\frac{x+1}{x-1}$＜$\frac{m}{（x-1）•（7-x）}$对x∈[2，4]成立．
则x+1＜$\frac{m}{7-x}$，即（x+1）（7-x）＜m成立，
设g（x）=（x+1）（7-x）=-（x-3）²+16，
因为x∈[2，4]
所以g（x）∈[15，16]，
则m＞16，
综上所述：a＞1时，0＜m＜15，
0＜a＜1时，m＞16      …．（12分）

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断以及不等式恒成立问题问题，利用对数函数的单调性，利用参数分离法进行求解即可．