Question

11．已知函数$f（x）=\frac{（sinx-cosx）sin2x}{sinx}$．
（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期T；
（Ⅱ）求使f（x）≥0时，x的取值范围；
（Ⅲ）是否存在最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后成为偶函数？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）-1，由sinx≠0，可求f（x）的定义域，利用三角函数周期公式可求f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）由f（x）≥0知，$sin（2x-\frac{π}{4}）≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，得$\frac{π}{4}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}+2kπ（k∈Z）$，即可解得x的取值范围．
（Ⅲ）f（x）的图象向左平移m个单位后得到的函数为$y=\sqrt{2}sin[2（x+m）-\frac{π}{4}]-1$，该函数为偶函数，则需满足$2m-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，从而解得m的值，即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\frac{（sinx-cosx）sin2x}{sinx}=\frac{（sinx-cosx）2sinxcosx}{sinx}=2sinxcosx-2{cos^2}x$
=$sin2x-（cos2x+1）=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）-1$，
∴由sinx≠0知，x≠kπ（k∈Z），
∴f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠kπ（k∈Z）}，
f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
（Ⅱ）由f（x）≥0知，$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）-1≥0$即$sin（2x-\frac{π}{4}）≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\frac{π}{4}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}+2kπ（k∈Z）$，即$\frac{π}{4}+kπ≤x≤\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，
∴f（x）≥0时，x的取值范围为：$[\frac{π}{4}+kπ，\frac{π}{2}+kπ]（k∈Z）$．
（Ⅲ）函数f（x）的图象向左平移m个单位后得到的函数为$y=\sqrt{2}sin[2（x+m）-\frac{π}{4}]-1$，
即$y=\sqrt{2}sin（2x+2m-\frac{π}{4}）-1$，
若要使该函数为偶函数，则需满足$2m-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，
∴$m=\frac{3π}{8}+\frac{kπ}{2}（k∈Z）$，
∴存在最小正实数$m=\frac{3π}{8}$，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后为偶函数．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题．