Question

16．高一年级某同学用“五点法”画函数$y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$在一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如表：

x		$\frac{π}{4}$	$\frac{3π}{4}$	$\frac{5π}{4}$
ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$		$\frac{3π}{2}$	2π
f（x）	0	2		-2	0

（1）请将上面表格中的数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用函数的最值确定A，利用函数的周期确定ω的值，利用函数的特殊点确定φ的值．
（2）由2k$π-\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，可得函数f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）∵由表格得A=2，T=2（$\frac{3π}{2}$-$\frac{π}{2}$）=2π=$\frac{2π}{ω}$，
∴ω=1，
∵当x=$\frac{π}{4}$时，x+φ=$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$．
则对应的表格为：

x	-$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{3π}{4}$	$\frac{5π}{4}$	$\frac{7π}{4}$
ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
f（x）	0	2	0	-2	0

函数f（x）的解析式为：f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$）．
（2）由2k$π-\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，可得：2kπ$-\frac{3π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
故函数f（x）的单调递增区间为：[2kπ$-\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．

点评 本题考查三角函数解析式的确定，考查五点法作图以及三角函数的图象和性质，考查学生的分析解决问题的能力，运算能力，属于中档题．