Question

4．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的长轴长为$2\sqrt{2}$，离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，过右焦点F的直线l交椭圆于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；
（Ⅲ）若以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得2a=$2\sqrt{2}$，e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，从而解出椭圆方程$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=x-1，从而联立方程$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=2\\ y=x-1\end{array}\right.$，从而解出交点坐标，从而求面积；
（Ⅲ）分类讨论是否与x轴垂直，从而解出直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
∵长轴长2a=$2\sqrt{2}$，离心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$b=c=1，a=\sqrt{2}$，
所求椭圆方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）∵直线l过椭圆右焦点F（1，0），且斜率为1，
∴直线l的方程为y=x-1，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=2\\ y=x-1\end{array}\right.$得，
3y²+2y-1=0，
解得${y_1}=-1，{y_2}=\frac{1}{3}$，
∴${S_{△POQ}}=\frac{1}{2}|OF|•|{y_1}-{y_2}|=\frac{1}{2}|{y_1}-{y_2}|=\frac{2}{3}$．
（Ⅲ）①当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1，
此时∠POQ小于90°，OP，OQ为邻边的平行四边形不可能是矩形．
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1）．
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=2\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
因为△=16k⁴-4（1+2k²）（2k²-2）=8（k²+1）＞0，
所以${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$．
因为y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
所以${y_1}{y_2}=\frac{{-{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$．
因为以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，
所以k_OP•k_OQ=-1，
因为$\frac{y_1}{x_1}•\frac{y_2}{x_2}=-1$，
所以x₁x₂+y₁y₂=$\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}+\frac{{-{k^2}}}{{1+2{k^2}}}=0$得k²=2．
所以$k=±\sqrt{2}$．
所以所求直线的方程为$y=±\sqrt{2}（x-1）$．

点评 本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系应用，同时考查了分类讨论的思想与学生的化简运算能力．