Question

3．已知sin（5π-θ）+sin（$\frac{5π}{2}$-θ）=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．求：
（1）sin³（$\frac{π}{2}$+θ）-cos³（$\frac{3π}{2}$-θ）；
（2）sin⁴（$\frac{π}{2}$-θ）+cos⁴（$\frac{7π}{2}$+θ）．

Answer 1

分析 根据三角函数的诱导公式先化简条件，根据同角的三角函数关系式进行转化求解即可．

解答 解：∵sin（5π-θ）+sin（$\frac{5π}{2}$-θ）=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
∴sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．则sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=$\frac{7}{4}$，
即2sinθcosθ=$\frac{3}{4}$，则sinθcosθ=$\frac{3}{8}$，
（1）sin³（$\frac{π}{2}$+θ）-cos³（$\frac{3π}{2}$-θ）=cos³θ+sin³θ=（sinθ+cosθ）（sin²θ-sinθcosθ+cos²θ）=$\frac{\sqrt{7}}{2}$×（1-$\frac{3}{8}$）=$\frac{\sqrt{7}}{2}$×$\frac{5}{8}$=$\frac{5\sqrt{7}}{16}$；
（2）sin⁴（$\frac{π}{2}$-θ）+cos⁴（$\frac{7π}{2}$+θ）=cos⁴θ+sin⁴θ=（sin²θ+cos²θ）²-2sin²θcos²θ=1-2（sinθcosθ）²=1-2×$\frac{9}{64}$=$\frac{23}{32}$．

点评 本题主要考查三角函数值的化简和求解，利用三角函数的诱导公式以及同角的三角函数的关系式是解决本题的关键．