Question

8．已知数列{a_n}是以a为首项，a为公比的等比数列（a＞0，a≠1），令b_n=a_n1ga_n，若{b_n}中的每一项总小于它后面的一项，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （1，+∞）
• C． （0，$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞）
• D． （0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 先求出数列{a_n}以及数列{b_n}的通项，利用条件得到关于n和a的不等式，分0＜a＜1和a＞1两种情况分别解不等式即可．

解答 解：由题得：a_n=a•a^n-1=aⁿ，b_n=na_nlga=naⁿlga．
由b_n＜b_n+1⇒nlga•aⁿ＜（n+1）lga•aⁿ⁺¹⇒lga•aⁿ[n-（n+1）a]＜0．
当0＜a＜1时，lga＜0，aⁿ＞0，⇒n-（n+1）a＞0⇒a＜$\frac{n}{n+1}$，故0＜a＜$\frac{n}{n+1}$；
当a＞1时，lga＞0，aⁿ＞0，⇒n-（n+1）a＜0⇒a＞$\frac{n}{n+1}$，故a＞1．
∴a的取值范围是a＞1或0＜a＜$\frac{n}{n+1}$，
∵n+1≤2n，∴$\frac{n}{n+1}$≥$\frac{1}{2}$，
∴a的取值范围是a＞1或0＜a＜$\frac{1}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查等比数列的通项公式，考查了数列不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．