Question

20．已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）．
（I）a=-4时，若关于x的方程|f（x）|=1在区间[0，4]内有四个不同的根，求b的取值范围；
（Ⅱ）记函数g（x）=|f（x）|在区间[0，4]上的最大值为M（a，b），求证：当一8≤a≤0时，有M（a，b）≥$\frac{1}{8}$a²．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a=-4代入f（x）的表达式，结合二次函数的性质得到关于b的不等式组，解出即可；
（Ⅱ）求出函数f（x）的对称轴的范围，结合二次函数的性质得到M（a，b）=max{f（0），|f（-$\frac{a}{2}$）|}，从而证出结论．

解答 解：（Ⅰ）a=-4时，f（x）=x²-4x+b，
令y=|f（x）|，
若关于x的方程|f（x）|=1在区间[0，4]内有四个不同的根，
则f（x）_min=f（2）=b-4＜-1①，
且f（0）=f（4）=b＞1②，
由①②解得：1＜b＜3；
（Ⅱ）-8≤a≤0时，0≤-$\frac{a}{2}$≤4，
∴函数f（x）的对称轴在区间[0，4]上，
∴M（a，b）=max{f（0），|f（-$\frac{a}{2}$）|}={b，|b-$\frac{{a}^{2}}{4}$|}≥$\frac{1}{2}$|b-b+$\frac{{a}^{2}}{4}$|=$\frac{1}{8}$a²．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查不等式的证明问题，是一道中档题．