Question

19．已知数列{a_n}中，a_n+1=$\frac{{2015a}_{n}}{{2013a}_{n}+2015}$，n∈N^*，a₁=1，则a₂₀₁₆的值为$\frac{1}{2014}$．

Answer 1

分析 a_n+1=$\frac{{2015a}_{n}}{{2013a}_{n}+2015}$，n∈N^*，a₁=1，变形为$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{2013}{2015}$，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{{2015a}_{n}}{{2013a}_{n}+2015}$，n∈N^*，a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{2013}{2015}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2013}{2015}$，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为$\frac{2013}{2015}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{2013}{2015}（n-1）$=$\frac{2013n+2}{2015}$，
∴a_n=$\frac{2015}{2013n+2}$．
则a₂₀₁₆=$\frac{2015}{2013×2016+2}$=$\frac{1}{2014}$．
故答案为：$\frac{1}{2014}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．