给定椭圆C:=1(a>b>0),称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为F(,0),其短轴的一个端点到点F的距离为.
(1)求椭圆C和其“准圆”的方程;
(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点,B、D是椭圆C上的两相异点,且BD⊥x轴,求·的取值范围;
(3)在椭圆C的“准圆”上任取一点P,过点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点,试判断l1,l2是否垂直?并说明理由.
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如图,圆与直线相切于点,与正半轴交于点,与直线在第一象限的交点为.点为圆上任一点,且满足,动点的轨迹记为曲线.
(1)求圆的方程及曲线的方程;
(2)若两条直线和分别交曲线于点、和、,求四边形面积的最大值,并求此时的的值.
(3)证明:曲线为椭圆,并求椭圆的焦点坐标.
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如图,在平面直角坐标系中,已知,,是椭圆上不同的三点,,,在第三象限,线段的中点在直线上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求点C的坐标;
(3)设动点在椭圆上(异于点,,)且直线PB,PC分别交直线OA于,两点,证明为定值并求出该定值.
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如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆=1的左、右顶点为A、B,右焦点为F.设过点T(t,m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2<0.
(1)设动点P满足PF2-PB2=4,求点P的轨迹;
(2)设x1=2,x2=,求点T的坐标;
(3)设t=9,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关).
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已知抛物线D的顶点是椭圆C:=1的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合.
(1)求抛物线D的方程;
(2)过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点.
①若直线l的斜率为1,求MN的长;
②是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值?如果存在,求出m的方程;如果不存在,说明理由.
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已知椭圆C的中点在原点,焦点在x轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)己知点P(2,3),Q(2,-3)在椭圆上,点A、B是椭圆上不同的两个动点,且满足APQ=BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.
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如图所示,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1,以A、B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|NB|=6,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.
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如图,正方形CDEF内接于椭圆,且它的四条边与坐标轴平行,正方形GHPQ的顶点G,H在椭圆上,顶点P,Q在正方形的边EF上.且CD=2PQ=.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点M(2,1),平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m:≠0),l交椭圆于A,B两个不同点,求证:直线MA,MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
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