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【题目】已知f(x)= (x≠0,a>0)是奇函数,且当x>0时,f(x)有最小值2
(1)求f(x)的表达式;
(2)设数列{an}满足a1=2,2an+1=f(an)﹣an(n∈N*).令bn= ,求证bn+1=bn2
(3)求数列{bn}的通项公式.

【答案】
(1)解:∵f(x)是奇函数,∴有f(﹣x)=﹣f(x),即

整理得(b﹣ac)x2=c对x≠0恒成立.∴有 ,∴b=c=0.

∵a>0,∴当x>0时,∴ ,∴a=2.∴


(2)解:证明:

∵bn=

=


(3)解:∵a1=2>0,∴ .取对数得

得bn≠1,∴lgbn≠0.∴有 为常数.

∴数列 为等比数列.

,∴


【解析】(1)由f(x)是奇函数,可得f(﹣x)=﹣f(x),解出b,c,再利用基本不等式的性质可得a.(2)由2an+1=f(an)﹣an(n∈N*),可得an+1与an的关系,令bn= ,利用递推关系即可证明bn+1=bn2 . (3)由a1=2>0,可得 .取对数得 .利用等比数列的通项公式即可得出.
【考点精析】掌握数列的通项公式是解答本题的根本,需要知道如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.

练习册系列答案
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C.
D.

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