Question

【题目】已知f（x）= （x≠0，a＞0）是奇函数，且当x＞0时，f（x）有最小值2 ．
（1）求f（x）的表达式；
（2）设数列{an}满足a1=2，2an+1=f（an）﹣an（n∈N*）．令bn= ，求证bn+1=bn2；
（3）求数列{bn}的通项公式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函数，∴有f（﹣x）=﹣f（x），即 ．

整理得（b﹣ac）x2=c对x≠0恒成立．∴有 ，∴b=c=0．

∴ ．

∵a＞0，∴当x＞0时，∴ ，∴a=2．∴

（2）解：证明： ．

∵bn= ，

∴ =

（3）解：∵a1=2＞0，∴ ．取对数得 ．

由 得bn≠1，∴lgbn≠0．∴有 为常数．

∴数列 为等比数列．

∵ ，∴ ．

∴

【解析】（1）由f（x）是奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），解出b，c，再利用基本不等式的性质可得a．（2）由2an+1=f（an）﹣an（n∈N*），可得an+1与an的关系，令bn= ，利用递推关系即可证明bn+1=bn2 ． （3）由a1=2＞0，可得 ．取对数得 ．利用等比数列的通项公式即可得出．
【考点精析】掌握数列的通项公式是解答本题的根本，需要知道如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．