【题目】已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2 , a4的等差中项.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=anlog an , 求数列{bn}的前n项和Sn .
【答案】解:(I)设等比数列{an}的首项为a1 , 公比为q ∵a3+2是a2 , a4的等差中项
∴2(a3+2)=a2+a4
代入a2+a3+a4=28,得a3=8
∴a2+a4=20
∴
∴ 或
∵数列{an}单调递增
∴an=2n
(II)∵an=2n
∴bn= =﹣n2n
∴﹣sn=1×2+2×22+…+n×2n①
∴﹣2sn=1×22+2×23+…+(n﹣1)×2n+n2n+1②
∴①﹣②得,
sn=2+22+23+…+2n﹣n2n+1=2n+1﹣n2n+1﹣2
【解析】(I)根据a3+2是a2 , a4的等差中项和a2+a3+a4=28,求出a3、a2+a4的值,进而得出首项和a1 , 即可求得通项公式;(II)先求出数列{bn}的通项公式,然后求出﹣Sn﹣(﹣2Sn),即可求得的前n项和Sn .
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识,掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系.
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【题目】正三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长都为2,E,F,G为 AB,AA1 , A1C1的中点,则B1F 与面GEF成角的正弦值( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知椭圆的左右焦点为
,其离心率为
,又抛物线
在点
处的切线恰好过椭圆
的一个焦点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点斜率为
的直线
交椭圆
于
两点,直线
的斜率分别为
,是否存在常数
,使得
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图所示的几何体,关于其结构特征,下列说法不正确的是( )
A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体
B.该几何体有12条棱、6个顶点
C.该几何体有8个面,并且各面均为三角形
D.该几何体有9个面,其中一个面是四边形,其余均为三角形
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【题目】
设函数f(x)=alnx﹣bx2(x>0).
(1)若函数f(x)在x=1处于直线相切,求函数f(x)在
上的最大值;
(2)当b=0时,若不等式f(x)≥m+x对所有的a∈[1,],x∈[1,e2]都成立,求实数m的取值范围.
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【题目】已知f(x)= (x≠0,a>0)是奇函数,且当x>0时,f(x)有最小值2
.
(1)求f(x)的表达式;
(2)设数列{an}满足a1=2,2an+1=f(an)﹣an(n∈N*).令bn= ,求证bn+1=bn2;
(3)求数列{bn}的通项公式.
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【题目】本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每年每次租时间不超过两小时免费,超过两个小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为,
;两小时以上且不超过三小时还车的概率为
,
;两人租车时间都不会超过四小时.
(1)求甲、乙都在三到四小时内还车的概率和甲、乙两人所付租车费相同的概率;
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量,求
的分布列与数学期望
.
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