Question

【题目】如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC= AA1 ， D是棱AA1的中点，DC1⊥BD

（1）证明：DC1⊥BC；
（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°

同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°

∴DC1⊥DC，DC1⊥BD

∵DC∩BD=D

∴DC1⊥面BCD

∵BC面BCD

∴DC1⊥BC

（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，

∵AC面ACC1A1，∴BC⊥AC

取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH

∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，

∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，

∴C1O⊥面A1BD

而BD面A1BD

∴BD⊥C1O，

∵OH⊥BD，C1O∩OH=O，

∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角

设AC=a，则 ， ，

∴sin∠C1DO=

∴∠C1DO=30°

即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°

【解析】（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD；（2）证明BC⊥面ACC1A1 ， 可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．
【考点精析】掌握空间中直线与直线之间的位置关系是解答本题的根本，需要知道相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点．