【题目】如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.
(Ⅰ)求证:BC⊥平面ACFE;
(Ⅱ)点M在线段EF上运动,设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤90°),试求cosθ的取值范围.
【答案】解:(I)证明:在梯形ABCD中,
∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,
∴AB=2
∴AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos60°=3
∴AB2=AC2+BC2
∴BC⊥AC
∵平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,BC平面ABCD
∴BC⊥平面ACFE
(II)由(I)可建立分别以直线CA,CB,CF为x轴,y轴,z轴的如图所示空间直角坐标系,
令 ,则
,B(0,1,0),M(λ,0,1)
∴
设 为平面MAB的一个法向量,
由 得
取x=1,则 ,
∵ 是平面FCB的一个法向量
∴
∵ ∴当λ=0时,cosθ有最小值
,
当 时,cosθ有最大值
.
∴ .
【解析】(I)证明线面垂直可以利用面面垂直进行证明,即若两个平面垂直并且其中一个平面内的一条直线a与两个平面的交线操作时则直线a与另一个平面垂直,即可证明线面垂直.(II)建立空间坐标系,根据坐标表示出两个平面的法向量,结合向量的有关运算求出二面角的余弦的表达式,再利用函数的有关知识求出余弦的范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识,掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.
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【题目】东莞市公交公司为了方便广大市民出行,科学规划公交车辆的投放,计划在某个人员密集流动地段增设一个起点站,为了研究车辆发车的间隔时间与乘客等候人数
之间的关系,选取一天中的六个不同的时段进行抽样调查,经过统计得到如下数据:
间隔时间( | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 |
等候人数( | 16 | 19 | 23 | 26 | 29 | 33 |
调查小组先从这6组数据中选取其中的4组数据求得线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验,检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数,再求
与实际等候人数
的差,若两组差值的绝对值均不超过1,则称所求的回归方程是“理想回归方程”.
参考公式:用最小二乘法求线性回归方程的系数公式:
,
(1)若选取的是前4组数据,求关于
的线性回归方程
;
(2)判断(1)中的方程是否是“理想回归方程”:
(3)为了使等候的乘客不超过38人,试用(1)中方程估计间隔时间最多可以设置为多少分钟?
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【题目】某地随着经济的发展,居民收入逐年增长,如表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额),如表1
年份x | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
储蓄存款y(千亿元) | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
为了研究计算的方便,工作人员将上表的数据进行了处理,得到表2:
时间代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
z | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
(1)求z关于t的线性回归方程;
(2)通过(1)中的方程,求出y关于x的回归方程;
(3)用所求回归方程预测到2010年年底,该地储蓄存款额可达多少?
附:对于线性回归方程,
其中,
.
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【题目】已知定义在(0,+∞)上的连续函数y=f(x)满足:xf′(x)﹣f(x)=xex且f(1)=﹣3,f(2)=0.则函数y=f(x)( )
A.有极小值,无极大值
B.有极大值,无极小值
C.既有极小值又有极大值
D.既无极小值又无极大值
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【题目】如图所示,在正方体中,侧面对角线
,
上分别有一点E,F,且
,则直线EF与平面ABCD所成的角的大小为( )
A.0°B.60°C.45°D.30°
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【题目】某书店刚刚上市了《中国古代数学史》,销售前该书店拟定了5种单价进行试销,每种单价(元)试销l天,得到如表单价
(元)与销量
(册)数据:
单价 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
销量 | 61 | 56 | 50 | 48 | 45 |
(l)根据表中数据,请建立关于
的回归直线方程:
(2)预计今后的销售中,销量(册)与单价
(元)服从(l)中的回归方程,已知每册书的成本是12元,书店为了获得最大利润,该册书的单价应定为多少元?
附:,
,
,
.
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【题目】若一个人下半身长(肚脐至足底)与全身长的比近似为(
,称为黄金分割比),堪称“身材完美”,且比值越接近黄金分割比,身材看起来越好,若某人着装前测得头顶至肚脐长度为72
,肚脐至足底长度为103
,根据以上数据,作为形象设计师的你,对TA的着装建议是( )
A.身材完美,无需改善B.可以戴一顶合适高度的帽子
C.可以穿一双合适高度的增高鞋D.同时穿戴同样高度的增高鞋与帽子
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【题目】设甲、乙、丙三个乒乓球协会分别选派3,1,2名运动员参加某次比赛,甲协会运动员编号分别为,
,
,乙协会编号为
,丙协会编号分别为
,
,若从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.
(1)用所给编号列出所有可能抽取的结果;
(2)求丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率;
(3)求参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率.
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