Question

已知函数f(x)=ax³+bx²－3x在x=±1处取得极值.
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
　 （Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f(x₁)－f(x₂)|≤4；
（Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.

Answer 1

（I）f(x)=x³－3x（II）证明略（III）实数a的取值范围是－3<m<－2

（I）f′(x)=3ax²+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，
即…………………………………………2分
解得a=1，b=0.
∴f(x)=x³－3x.……………………………………………………4分
（II）∵f(x)=x³－3x,∴f′(x)=3x²－3=3(x+1)(x－1)，
当－1<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数，
f_max(x)=f(－1)=2，f_min(x)=f(1)=－2……………………………………6分
∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，
都有|f(x₁)－f(x₂)|≤|f_max(x) －f_min(x)|
|f(x₁)－f(x₂)|≤|f_max(x)－f_min(x)|=2－(－2)=4………………………………8分
（III）f′(x)=3x²－3=3(x+1)(x－1)，
∵曲线方程为y=x³－3x，∴点A（1，m）不在曲线上.
设切点为M（x₀，y₀），则点M的坐标满足
因，故切线的斜率为
，
整理得.
∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，
∴关于x₀方程=0有三个实根.……………………10分
设g(x­₀)= ，则g′(x₀)=6，
由g′(x₀)=0，得x₀=0或x₀­=1.
∴g(x₀)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.
∴函数g(x₀)= 的极值点为x₀=0，x₀=1………………12分
∴关于x₀方程=0有三个实根的充要条件是
，解得－3<m<－2.
故所求的实数a的取值范围是－3<m<－2.……………………14分