Question

【题目】已知左、右焦点分别为的椭圆与直线相交于两点，使得四边形为面积等于的矩形.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆上一动点（不在轴上）作圆的两条切线，切点分别为，直线与椭圆交于两点， 为坐标原点，求的面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）,

【解析】试题分析：（1）由矩形为面积等于可得，故椭圆方程可化为，又由题意可得,代入椭圆方程可解得，从而可得椭圆的方程；（2）设，根据相交两圆的公共弦所在直线方程的求法得到直线的方程为，用代数方法求出弦长，从而可得的面积，最后根据函数的知识求范围。

试题解析：

（1）∵四边形为面积等于的矩形，

∴，故，

∴椭圆方程化为，且点，

∵点A在椭圆上，

∴，

整理得，

解得。

∴椭圆的方程为；

（2）设，则以线段为直径的圆的方程为

，

又圆的方程为，

两式相减得直线的方程为.

由消去y整理得

∵直线与椭圆交于两点，

∴，

设，

则

又原点到直线CD的距离为，

∴

设，

∵，

∴

又在上单调递增，

∴，

所以的面积的取值范围为.