【题目】设函数,
.
(Ⅰ)若曲线与曲线
在它们的交点
处具有公共切线,求
,
的值;
(Ⅱ)当时,若函数
在区间
内恰有两个零点,求
的取值范围;
(Ⅲ)当时,求函数
在区间
上的最大值.
【答案】(1),
.(2)
(3)见解析
【解析】【试题分析】(1)借助导数的几何意义建立方程组求解;(2)依据题设条件借助到数与函数的单调性之间的关系分析求解;(3)借助题设条件运用分类整合思想进行分析求解:
(Ⅰ),
.
因为曲线与曲线
在它们的交点
处具有公共切线,所以
,且
,即
,且
,解得
,
.
(Ⅱ)记,当
时,
,
,令
,得
,
,
当变化时,
,
的变化情况如表:
所以函数的单调增区间为
,
;单调减区间为
.
故在区间
内单调递增,在区间
内单调递减,
从而函数在区间
内恰有两个零点,当且仅当
解得
,
所以的取值范围是
.
(Ⅲ)记,当
时,
,
由(Ⅱ)的单调增区间为
,
;单调减区间为
.
①当时,即
时,
在区间
上单调递增,
所以在区间
上的最大值为
;
②当且
,即
时,
在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,所以
在区间
上的最大值为
;
当且
,即
时,
且
,所以
在区间
上的最大值为
;
③当时,
,
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,所以
在区间
上的最大值为
与
中的较大者,
由知,当
时,
,所以
在区间
上的最大值为
;
④当时,
在区间
上单调递增,所以
在区间
上的最大值为
.
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【题目】已知椭圆:
(
)与
轴交于
,
两点,
为椭圆
的左焦点,且
是边长为2的等边三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆
交于
,
两点,点
关于
轴的对称点为
(
与
不重合),则直线
与
轴交于点
,求
面积的取值范围.
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【题目】潍坊文化艺术中心的观光塔是潍坊市的标志性建筑,某班同学准备测量观光塔的高度
(单位:米),如图所示,垂直放置的标杆
的高度
米,已知
,
.
(1)该班同学测得一组数据:
,请据此算出
的值;
(2)该班同学分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到观光塔的距离(单位:米),使
与
的差较大,可以提高测量精确度,若观光塔高度为136米,问
为多大时,
的值最大?
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【题目】已知左、右焦点分别为的椭圆
与直线
相交于
两点,使得四边形
为面积等于
的矩形.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆上一动点
(不在
轴上)作圆
的两条切线
,切点分别为
,直线
与椭圆
交于
两点,
为坐标原点,求
的面积
的取值范围.
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【题目】我校举行的 “青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛.为了了解本次比赛成绩情况,从中抽取了50名学生的成绩(得分取正整数,满分为100分)作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题:
组别 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 | [50,60) | 8 | 0.16 |
第2组 | [60,70) | a | ▓ |
第3组 | [70,80) | 20 | 0.40 |
第4组 | [80,90) | ▓ | 0.08 |
第5组 | [90,100] | 2 | b |
合计 | ▓ | ▓ |
(1)求出的值;
(2)在选取的样本中,从成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学参加元旦晚会,求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率;
(3)根据频率分布直方图,估计这50名学生成绩的众数、中位数和平均数。
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【题目】已知甲、乙两个容器,甲容器容量为,装满纯酒精,乙容器容量为
,其中装有体积为
的水(
:单位:
).现将甲容器中的液体倒人乙容器中,直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满,搅拌使乙容器中两种液体充分混合,再将乙容器中的液体倒人甲容器中直至倒满,搅拌使甲容器中液体充分混合,如此称为一次操作,假设操作过程中溶液体积变化忽略不计.设经过
次操作之后,乙容器中含有纯酒精
(单位:
),下列关于数列
的说法正确的是( )
A. 当时,数列
有最大值
B. 设,则数列
为递减数列
C. 对任意的,始终有
D. 对任意的,都有
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【题目】已知为坐标原点,设动点
.
(1)当时,若过点
的直线
与圆
:
相切,求直线
的方程;
(2)当时,求以
为直径且被直线
截得的弦长为2的圆的方程;
(3)当时,设
,过点
作
的垂线,与以
为直径的圆交于点
,垂足为
,试问:线段
的长是否为定值?若为定值,求出这个定值;若不为定值,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】一条光线从点(﹣2,﹣3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y﹣2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )
A.﹣或﹣
B.﹣或﹣
C.﹣或﹣
D.﹣或﹣
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