Question

现有一组互不相同且从小到大排列的数据a，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，其中a=0．记T=a+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅，，（n=0，1，2，3，4，5），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，3，4，5）的折线．
（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；
（Ⅱ）设直线P_n-1P_n的斜率为k_n（n=1，2，3，4，5），判断k₁，k₂，k₃，k₄，k₅的大小关系；
（Ⅲ）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）结合已知代入可求f（0）=，f（1）=即可求解
（Ⅱ）由题意可得，，结合已知a＜a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，可判断
（Ⅲ）要证明f（x）＜x（0＜x＜1），只需证明f（x_n）＜x_n，
法一：可证5（a₁+a₂+…+a_n）=[n+（5-n）]（a₁+a₂+…+a_n）＜nT，即可证明
法二：k_n＜1时，y_n=（y₁-y）+（y₂-y₁）+…+（y_n-y_n-1）
当k_n≥1时，y_n=y₅-（y₅-y_n）=1-[（y_n+1-y_n）+（y_n+2-y_n+1）+…+（y₅-y₄）]可证明
解答：（Ⅰ）解：，…（2分）
；   …（4分）
（Ⅱ）解：，n=1，2，3，4，5．   …（6分）
因为 a＜a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，
所以 k₁＜k₂＜k₃＜k₄＜k₅．           …（8分）
（Ⅲ）证：由于f（x）的图象是连接各点P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，3，4，5）的折线，
要证明f（x）＜x（0＜x＜1），只需证明f（x_n）＜x_n（n=1，2，3，4）．…（9分）
事实上，当x∈（x_n-1，x_n）时，==x．
下面证明f（x_n）＜x_n．
法一：对任何n（n=1，2，3，4），5（a₁+a₂+…+a_n）=[n+（5-n）]（a₁+a₂+…+a_n）…（10分）=n（a₁+a₂+…+a_n）+（5-n）（a₁+a₂+…+a_n）≤n（a₁+a₂+…+a_n）+（5-n）na_n…（11分）=n[a₁+a₂+…+a_n+（5-n）a_n]＜n（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1+…+a₅）=nT…（12分）
所以 ．…（13分）
法二：对任何n（n=1，2，3，4），
当k_n＜1时，y_n=（y₁-y）+（y₂-y₁）+…+（y_n-y_n-1）=；…（10分）
当k_n≥1时，y_n=y₅-（y₅-y_n）=1-[（y_n+1-y_n）+（y_n+2-y_n+1）+…+（y₅-y₄）]=．
综上，f（x_n）＜x_n．           …（13分）
点评：本题以新定义为载体，主要考查了数列的求和及一定的推理与运算的能力，试题具有一定的综合性