Question

20.现有一组互不相同且从小到大排列的数据：a₀，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，其中a₀=0.为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记T=a₀+a₁+…a₅，x_n=，y_n=（a₀+a₁+…+a_n），作函数y=f（x），使其图像为逐点依次连接点P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，…，5）的折线.

（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；

（Ⅱ）设P_n－1P_n的斜率为k_n（n=1，2，3，4，5），判断k₁，k₂，k₃，k₄，k₅的大小关系；

（Ⅲ）证明：f（x_n）<x_n（n=1，2，3，4）.

Answer 1

20.本小题主要考查函数、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.

（Ⅰ）解：f（0）==0，

　　　f（1）==1.

（Ⅱ）解：

　　　k_n==a_n，n=1，2，…，5，

　　　因为a₁<a₂<a₃<a₄<a₅，

　　　所以k₁<k₂<k₃<k₄<k₅.

（Ⅲ）证法一：

　　　对任何n（n=1，2，3，4），

　　　5（a₁+…+a_n）=[n+（5－n）]（a₁+…+a_n）

　　　=n（a₁+…+a_n）+（5－n）（a₁+…+a_n）

  　　≤n（a₁+…+a_n）+（5－n）na_n

  　　=n[a₁+…+a_n+（5－n）a_n]

  　　<n（a₁+…+a_n+a_n+1+…+a₅）=nT，

  　　所以f（x_n）=<=x_n.

　　　证法二：

　　　对任何n（n=1，2，3，4），

　　　当k_n<1时，

　　　y_n=（y₁－y₀）+（y₂－y₁）+…+（y_n－y_n－1）

　  　　=（k₁+k₂+…+k_n）<=x_n.

　　　当k_n≥1时，

　　　y_n=y₅－（y₅－y_n）

　　　　=1－[（y_n+1－y_n）+（y_n+2－y_n+1）+…+（y₅－y₄）]

   　　=1－（k_n+1+k_n+2+…+k₅）<1－（5－n）==x_n，

　　　综上，f（x_n）<x_n.