Question

设向量

a

=(2cosx，1)，

b

=(cosx，

3

sin2x)，若存在x∈[0，

π

2

]，使得不等式

a

•

b

-k≤0成立，则实数k的最小值是

3

．

Answer 1

分析：利用向量数量积坐标运算公式和三角恒等变换，可得

a

•

b

=2sin（2x+

π

6

）+1，从而得到当0≤x≤

π

2

时，

a

•

b

的取值范围为[0，3]，最后结合不等式恒成立的条件，即可得到实数k的最小值．

解答：解：∵

a

=(2cosx，1)，

b

=(cosx，

3

sin2x)
∴

a

•

b

=2cos²x+

3

sin2x=1+cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）+1
∵x∈[0，

π

2

]，得2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，得0≤2sin（2x+

π

6

）+1≤3
即

a

•

b

的取值范围为[0，3]
∵不等式

a

•

b

-k≤0成立，
∴k≥（

a

•

b

）_max，得k≥3，k的最小值为3
故答案为：3

点评：本题给出含有向量数量积的不等式恒成立，求参数k的最小值．着重以向量的坐标运算为载体，考查三角函数和不等式恒成立的知识，属于中档题．