Question

在直角坐标系中，O为坐标原点，如果一个椭圆经过点P（3，

2

），且以点F（2，0）为它的一个焦点．
（1）求此椭圆的标准方程；
（2）在（1）中求过点F（2，0）的弦AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设所求椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由已知条件推导出

a2=b2+4 9 a2 + 2 b2 =1

，由此能求出椭圆方程．
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），M（x，y），由已知条件推导出x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，

x12 12 + y12 8 =1 x22 12 + y22 8 =1

，由此利用点差法能求出点M的轨迹方程．

解答： 解：（1）设所求椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∵椭圆经过点P（3，

2

），且以点F（2，0）为它的一个焦点，
∴

a2=b2+4 9 a2 + 2 b2 =1

，解得：

a2=12 b2=8

，
∴所求椭圆方程为：

x2

12

+

y2

8

=1．（5分）
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），M（x，y），
∵弦AB的中点是M，
∴x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
∵A，B都在

x2

12

+

y2

8

=1上，
∴

x12 12 + y12 8 =1 x22 12 + y22 8 =1

，
当x₁≠x₂时，

y1-y2

x1-x2

=-

8(x1+x2)

12(y1+y2)

=-

2

3

?

2x

2y

=-

2

3

?

x

y

，
又∵k_AB=k_MF=

y-0

x-2

，
∴-

2

3

?

x

y

=

y-0

x-2

，
整理得：2x²+3y²-4x=0；当x₁=x₂时，中点M（2，0）满足条件，
总上可知：所求轨迹方程为：2x²+3y²-4x=0．（10分）

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．