Question

函数f（x）=

2-x x-1

的定义域为集合A，关于x的不等式3^2ax＜3^a+x（a∈R）的解集为B，求使A∩B=A的实数a的取值范围．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用,指、对数不等式的解法

专题：不等式的解法及应用,集合

分析：首先根据被开方式非负，求出集合A；由指数函数的单调性，求出集合B，并就a讨论，化简B，根据A∩B=A?A⊆B，分别求出a的取值范围，最后求并集．

解答： 解：由

2-x

x-1

≥0，得1＜x≤2，
即A={x|1＜x≤2}．
∵y=3^x是R上的增函数，
∴由3^2ax＜3^a+x，得2ax＜a+x，
∴B={x|（2a-1）x＜a}，
（1）当2a-1＞0，即a＞

1

2

时，B={x|x＜

a

2a-1

}，
又∵A∩B=A，∴A⊆B，
∴

a

2a-1

＞2，解得

1

2

＜a＜

2

3

；
（2）当2a-1=0，即a=

1

2

时，B=R，满足A∩B=A；
（3）当2a-1＜0，即a＜

1

2

时，B={x|x＞

a

2a-1

}；
∵A⊆B，∴

a

2a-1

≤1，解得a＜

1

2

或a≥1，
∴a＜

1

2

，
综上，a的取值范围是（-∞，

2

3

）．

点评：本题主要考查集合的包含关系及判断，考查分式不等式和指数不等式的解法，考查基本的运算能力和分类讨论的思想方法，是一道中档题．