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    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左、右焦点分别是F1（-c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足|
    F1Q
    |=2a．点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足
    PT
    •
    TF2
    =0    ，|
    TF2
    |≠0．
    （1）求证：|PQ|=|PF2|；
    （2）求点T的轨迹C的方程；
    （3）若椭圆的离心率e=
    		3
    2
    ，试判断轨迹C上是否存在点M，使△F1MF2的面积S=b2，若存在，请求出∠F1MF2的正切值．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
    分析：（1）由椭圆的定义有|PF1|+|PF2|=2a，再根据|QF1|=|PF1|+|QP|=2a，可得|PQ|=|PF2|．
    （2）由条件可得OT是△QF1F2的中位线，可得|OT|=
    1
    2
    |QF1|=a    ，于是可求点T的轨迹C的方程．
    （3）假设C上存在点M（x0，y0）使S=b2的充要条件是
    x
    2
    0
    +
    y
    2
    0
    =a2…(3)
    1
    2
    •2c|y0|=b2…(4)
    ，故有a≥
    b2
    c
    ，求得
    		5
    -1
    2
    ≤e＜1．根据
    		3
    2
    ∈[
    		5
    -1
    2
    ，1），可得轨迹C上存在点M满足条件．在此条件下，由S=
    1
    2
    |
    MF1
    |•|
    MF2
    |sin∠F1MF2=b2    ，求得tan∠F1MF2的值．
    解答： 解：（1）由椭圆的定义有|PF1|+|PF2|=2a，
    又|QF1|=|PF1|+|QP|=2a，
    ∴|PQ|=|PF2|．
    （2）由（1）得|PQ|=|PF2|，又
    PT
    •
    TF2
    =0，|
    TF2
    |≠0    ．
    ∴点T为QF2的中点，
    又点O是线段F1F2的中点，
    ∴OT是△QF1F2的中位线．
    ∴|OT|=
    1
    2
    |QF1|=a    ，所以点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2．
    （3）假设C上存在点M（x0，y0）使S=b2的充要条件是
    x
    2
    0
    +
    y
    2
    0
    =a2…(3)
    1
    2
    •2c|y0|=b2…(4)
    ，
    由题意得|y0|≤a，由（4）得|y0|=
    b2
    c
    ．
    所以若要存在点M，使S=b2，必须a≥
    b2
    c
    ，即ac≥b2 ，
    ∴ac≥a2-c2，两边同除以a2得e2+e-1≥0，解得
    		5
    -1
    2
    ≤e＜1，或e≤
    -
    		5
    -1
    2
    （舍去）．
    ∵
    		3
    2
    ∈[
    		5
    -1
    2
    ，1），
    故当椭圆的离心率e=
    		3
    2
    时，轨迹C上存在点M，使△F1MF2的面积S=b2．
    在此条件下，
    MF1
    =(-c-x0，-y0)，
    MF2
    =(c-x0，-y0)    ，
    由
    MF1
    •
    MF2
    =
    x
    2
    0
    -c2+
    y
    2
    0
    =a2-c2=b2    ，
    MF1
    •
    MF2
    =|
    MF1
    |•|
    MF2
    |cos∠F1MF2    ，S=
    1
    2
    |
    MF1
    |•|
    MF2
    |sin∠F1MF2=b2    ，
    得tan∠F1MF2=2．
    点评：本题主要考查圆锥曲线的定义、性质、标准方程的综合应用，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，属于难题．
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    ．

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    C、若a∥α且a∥β，则α∥β
    D、若γ∥α且γ∥β，则α∥β

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    椭圆 
    x2
    9
    +
    y2
    m2
    =1    ，（0＜m＜3）的左右焦点分别为F1、F2，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，点B关于y轴的对称点为点C，则四边形AF1CF2的周长为（　　）
    A、2m
    B、4m
    C、4
    		9-m2
    D、12

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    		3
    )    ，且过点（0，2）．
    （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
    （Ⅱ）设直线y=kx+1与椭圆C交于A，B两点，k为何值时
    OA
    ⊥
    OB
    ？此时|
    AB
    |    的值是多少？

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    函数f（x）=
    2-x
    x-1
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    .
    x
    是这4个数据中的平均数，则输出的v的值为
     
    ．

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