Question

已知以原点为中心，以坐标轴为对称轴的椭圆C的一个焦点为(0，

3

)，且过点（0，2）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+1与椭圆C交于A，B两点，k为何值时

OA

⊥

OB

？此时|

AB

|的值是多少？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题意根据椭圆的性质可得c=

3

、a=2，b=1，从而求得椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）设直线y=kx+1与椭圆C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直线代入椭圆的方程，再利用韦达定理求得 x₁+x₂ 和x₁•x₂．根据 

OA

•

OB

=0，求得k的值．根据|AB|=

1+k2

•|x₁-x₂|=

1+ 1 4

•

(x1+x2)2-4x1•x2

，计算求得结果．

解答： 解：（Ⅰ）根据所求的椭圆以原点为中心，以坐标轴为对称轴的椭圆C的一个焦点为(0，

3

)，
且过点（0，2），可得c=

3

，a=2，
∴b=1，椭圆C的标准方程为

y2

4

+

x2

1

=1．
（Ⅱ）设直线y=kx+1与椭圆C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
由

y=kx+1 y2 4 + x2 1 =1

可得 （k²+4）x²+2kx-3=0，∴x₁+x₂=-

2k

k2+4

，x₁•x₂=

-3

k2+4

．
∵

OA

⊥

OB

，∴

OA

•

OB

=0，即 x₁•x₂+y₁•y₂=0，即（1+k²）x₁•x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
即 （1+k²）（

-3

k2+4

）+k（-

2k

k2+4

）+1=0，化间得-4k²+1=0，解得k=±

1

2

．
此时，|AB|=

1+k2

•|x₁-x₂|=

1+ 1 4

•

(x1+x2)2-4x1•x2

=

5

2

•

(± 1 17 4 )2-4× -3 17 4

=

4 65

17

．

点评：本题主要考查椭圆的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系、弦长公式的应用，属于中档题．