Question

已知函数f（x）=x³+bx²-3x+1（b∈R），在x=x₁和x=x₂（x₁＞x₂）处都取得极值，则下列说法正确的是（　　）

• A、f（x）在x=x₁处取得极小值，在x=x₂处取得极小值
• B、f（x）在x=x₁处取得极小值，在x=x₂处取得极大值
• C、f（x）在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值
• D、f（x）在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极大值

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：求出f（x）的导函数，因为函数在x₁，x₂时取得极值，x=x₁和x=x₂是导函数等于0的两个根，由此可得f（x）在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值．

解答： 解：由于函数f（x）=x³+bx²-3x+1（b∈R），
则f′（x）=3x²+2bx-3（b∈R）
由于函数在x=x₁和x=x₂（x1＜x2）处都取得极值，
令f′（x）＞0，解得x＜x₁或x＞x₂；
令f′（x）＜0，解得x₁＜x＜x₂；
故f（x）在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值．
故选：C．

点评：考查学生利用导数求函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及掌握函数在某点取得极值的条件．