Question

已知函数f（x）=x²+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常数．
（1）?a∈R，试证明函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线经过定点；
（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导函数，可得切线斜率，求出切点坐标，可得函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线，即可得出切线y=（1+a）（2x-1）经过定点(

1

2

，0)；
（2）分类讨论，a＜0时，由f（x）=x²+a（x+lnx）＞0得

1

a

＜-(

1

x

+

1

x2

lnx)，求出右边对应函数的最值，即可求常数a的取值范围．

解答： （1）证明：f′（x）=2x+a(1+

1

x

)…（1分）
∴f（1）=1+a，f′（1）=2+2a…（2分），
∴函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线为y-（1+a）=（2+2a）（x-1），
即y=（1+a）（2x-1）…（4分）
?a∈R，当x=

1

2

时，y=（1+a）（2x-1）=0，即切线y=（1+a）（2x-1）经过定点(

1

2

，0)…（5分）
（2）解：a=0时，f（x）=x²，
∵x＞0，∴点（x，x²）在第一象限…（6分）
依题意，f（x）=x²+a（x+lnx）＞0…（7分）
a＞0时，由对数函数性质知，x∈（0，1）时，lnx∈（-∞，0），alnx∈（-∞，0），
从而“?x＞0，f（x）=x²+a（x+lnx）＞0”不成立…（8分）
a＜0时，由f（x）=x²+a（x+lnx）＞0得

1

a

＜-(

1

x

+

1

x2

lnx)…（9分）
设g(x)=-(

1

x

+

1

x2

lnx)，g′(x)=

x-1

x3

+

2

x3

lnx…（10分）

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	↘	极小值	↗

g（x）≥g（1）=-1，从而

1

a

＜-(

1

x

+

1

x2

lnx)＜-1，-1＜a＜0…（13分）
综上所述，常数a的取值范围-1＜a≤0…（14分）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．