Question

已知点F₁、F₂为双曲线C：x²-

y2

b2

=1的左、右焦点，过F₂作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF₁F₂=30°．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P₁、P₂，求

PP1

•

PP2

的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设F₂，M的坐标分别为(

1+b2

，0)，(

1+b2

，y0)，求出|MF₂|，Rt△MF₂F₁中，∠MF₁F₂=30°，求出|MF₁|，利用双曲线的定义，即可求双曲线C的方程；
（2）求出两条渐近线方程，可得点Q到两条渐近线的距离，设两渐近线的夹角为θ，可得cosθ=

1

3

，利用向量的数量积公式，即可求

PP1

•

PP2

的值．

解答： 解：（1）设F₂，M的坐标分别为(

1+b2

，0)，(

1+b2

，y0)，
因为点M在双曲线C上，所以1+b2-

y02

b2

=1，即y0=±b2，所以|MF2|=b2，
在Rt△MF₂F₁中，∠MF₁F₂=30°，|MF2|=b2，所以|MF1|=2b2…（3分）
由双曲线的定义可知：|MF1|-|MF2|=b2=2
故双曲线C的方程为：x2-

y2

2

=1…（6分）
（2）由条件可知：两条渐近线分别为l1：

2

x-y=0；l2：

2

x+y=0…（8分）
设双曲线C上的点Q（x₀，y₀），设两渐近线的夹角为θ，
则点Q到两条渐近线的距离分别为|PP1|=

| 2 x0-y0|

3

，|PP2|=

| 2 x0+y0|

3

，…（11分）
因为Q（x₀，y₀）在双曲线C：x2-

y2

2

=1上，
所以2x02-y02=2，又cosθ=

1

3

，
所以

PP1

•

PP2

=

| 2 x0-y0|

3

•

| 2 x0+y0|

3

cosθ=

|2x02-y02|

3

•

1

3

=

2

9

…（14分）

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．