Question

【题目】如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上的动点，下列说法正确的是（ ）

A.对任意点P，平面

B.三棱锥的体积为

C.线段DP长度的最小值为

D.存在点P，使得DP与平面所成角的大小为

Answer 1

【答案】ABC

【解析】

对四个选项逐一分析，

对于A：平面平面，可得平面；

对于B：三棱锥的高均为1，底面的面积为，根据锥体体积公式计算即可作出判断；

对于C：当点P为的中点时，DP最小，此时，在中利用勾股定理进行计算可得出DP的最小值；

对于D：设点P在平面上的投影为点Q，为DP与平面所成的角，，，而，所以DP与平面所成角的正弦值的取值范围是，而，从而作出判断.

由题可知，正方体的面对角线长度为，

对于A：分别连接、、、、，易得平面平面，平面，故对任意点P，平面，故正确；

对于B：分别连接、，无论点P在哪个位置，三棱锥的高均为1，底面的面积为，所以三棱锥的体积为，故正确；

对于C：线段DP在中，当点P为的中点时，DP最小，此时，在中，，

故DP的最小值为，故正确；

对于D：点P在平面上的投影在线段上，设点P的投影为点Q，则为DP与平面所成的角，，，

而，所以DP与平面所成角的正弦值的取值范围是，而，

所以不存在点P，使得DP与平面所成角的大小为，故错误.

故选：ABC.