Question

设函数f（x）=-x³+3mx+1+m（m∈R），且f（x）+f（-x）=4对任意x∈R恒成立．
（I）求m的值；
（II）求函数f（x）在[-1，3]上的最大值；
（III）设实数a，b，c∈[0，+∞）且a+b+c=3，证明：++．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵对任意x∈R都有f（x）+f（-x）=4对任意x∈R恒成立，
∴f（0）=2，即m=1…（2分）
（Ⅱ）∵m=1，故f（x）=-x³+3x+2，
∴f′（x）=-3x²+3，令-3x²+3=0得：x₁=-1，x₂=1…（5分）
若-1＜x＜1，f′（x）＞0，若x＞1，f′（x）＜0，当x=1或x=-1，f′（x）=0，
∴f（x）=-x3+3x+2在（-1，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
∴f（x）_极大值=f（1）=4，
又f（-1）=1-3+2=0，
f（3）=-27+9+2=-16．
∴函数f（x）在[-1，3]上的最大值为4；…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得m=1，∴f（x）=-x³+3x+2=（1+x）²（2-x），…（10分）
由（Ⅱ）知，当x∈[0，3]时，（1+x）²（2-x）≤4，…（12分）
当a，b，c∈[0，+∞）且a+b+c=3时，0≤a≤3，0≤b≤3，0≤c≤3，
，，，
∴++≥++=[6-（a+b+c）]=…（14分）
分析：（Ⅰ）可令x=0，即可求得m的值；
（Ⅱ）m=1，f（x）=-x³+3x+2，f′（x）=-3x²+3，先求函数f（x）在[-1，3]上的极值，再求其在端点的函数值，其中最大的就是所求；
（Ⅲ）由（Ⅰ）得m=1，f（x）=-x³+3x+2=（1+x）²（2-x），（Ⅱ）知，当x∈[0，3]时，（1+x）²（2-x）≤4，于是，当a，b，c∈[0，+∞）且a+b+c=3时，0≤a≤3，0≤b≤3，0≤c≤3，
，，，利用同向不等式相加即可．
点评：本题考查不等式的证明，重点考查利用导数求函数的闭区间上的最值及不等式的性质证明，难点在于（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）结论的高度结合，特别是（1+x）²（2-x）≤4到的转化，属于难题．