Question

10．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足：$|\overrightarrow a|=13，|\overrightarrow b|=1，|\overrightarrow a-5\overrightarrow b|≤12$，则$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$上的投影长度的取值范围是（　　）

• A． $[0，\frac{1}{13}]$
• B． $[0，\frac{5}{13}]$
• C． $[\frac{1}{13}，1]$
• D． $[\frac{5}{13}，1]$

Answer 1

分析 由$|\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}）^{2}}$≤12可求$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的范围，进而可求$cosθ=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$的范围，然后由$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$上的投影|$\overrightarrow{b}$|cosθ可求

解答 解：设向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为θ
∵|$\overrightarrow{a}$|=13，|$\overrightarrow{b}$|=1
∴$|\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-10\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+25{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{194-10\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$≤12
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$≥5
∴$cosθ=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{13}$≥$\frac{5}{13}$
∴$\frac{5}{13}≤cosθ≤1$
∵$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$上的投影|$\overrightarrow{b}$|cosθ=cosθ$∈[\frac{5}{13}，1]$
故选D

点评 本题主要考查了向量的数量积的性质及投影的定义的简单应用，解题的关键是弄清楚基本概念．