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    设数列{an}满足：a1=，1，a2=
    5
    3
    ，an+2=
    5
    3
    an+1+
    1
    3
    an，(n=1，2，…)
    （1）令bn=an+1-an，（n=1，2…）求数列{bn}的通项公式；
    （2）求数列{nan}的前n项和Sn．
    分析：（1）由bn=an+1-an和an+2=
    5
    3
    an+1+
    1
    3
    an    推出bn与bn-1之间的关系，求出数列的bn的通项公式；
    （2）由（1）中求出的数列{bn}的通项公式，求出数列{an}的通项公式，从而求出数列{nan}的通项公式，进一步求出Sn．
    解答：解：（1）∵bn+1=an+2-an+1=
    5
    3
    an+1-
    2
    3
    an- an+1
    =
    2
    3
    (an+1-an)=
    2
    3
    bn
    ∴{bn}是以公比为
    2
    3
    的等比数列，且b1=a2-a1=
    2
    3

    ∴bn=(
    2
    3
    )    n
    （2）由bn=an+1- an =(
    2
    3
    )    n    得
    an+1-a1=（an+1-an）+（an-an-1）+…+（a2-a1）
    =(
    2
    3
    )    n    +(
    2
    3
    )    n-1    +…+ (
    2
    3
    )    2    +
    2
    3
    =2[1-(
    2
    3
    )    n     ]
    注意到a1=1，可得an=3-
    2n
    3n-1

    记数列{
    n2n-1
    3n-1
    }的前n项和为Tn，则
    Tn=1+2•
    2
    3
    +…+n•(
    2
    3
    )    n-1    ，
    2
    3
    Tn=
    2
    3
    +2•(
    2
    3
    )    2    +…+n•(
    2
    3
    )    n
    两式相减得
    1
    3
    Tn=1+
    2
    3
    +(
    2
    3
    )    2    + …+(
    2
    3
    )    n-1    -n•(
    2
    3
    )         n    =3[1-(
    2
    3
    )    n    ]-n(
    2
    3
    )    n
    故Tn=9[1-(
    2
    3
    )    n    ]-3n(
    2
    3
    )    n    =9-
    (3+n)2n
    3n-1

    从而Sn=a1+2a2+…+nan=3（1+2+3+…+n）-2Tn
    =
    3
    2
    n(n+1)+
    (n+3)2n+1
    3n-1
    -18
    点评：根据递推公式求数列的通项公式，关键是探讨出相邻两项之间的关系；数列求和抓住通项公式是求和的关键；属中档题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设数列{an}满足a1=0，an+1=can3+1-c，n∈N*，其中c为实数
    （1）证明：an∈[0，1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0，1]；
    （2）设0＜c＜
    1
    3
    ，证明：an≥1-（3c）n-1，n∈N*；
    （3）设0＜c＜
    1
    3
    ，证明：
    a
    2
    1
    +
    a
    2
    2
    +…
    a
    2
    n
    ＞n+1-
    2
    1-3c
    ，n∈N*    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f(x)=
    1
    4x+m
    (m＞0)    ，当x1、x2∈R且x1+x2=1时，总有f(x1)+f(x2)=
    1
    2
    ．
    （1）求m的值；
    （2）设数列an满足an=f(
    0
    n
    )+f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n
    n
    )    ，求an的通项公式．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*其中a，c为实数，且c≠0
    （Ⅰ）求数列{an}的通项公式
    （Ⅱ）设a=
    1
    2
    ，c=
    1
    2
    ，bn=n（1-an），n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn；
    （Ⅲ）若0＜an＜1对任意n∈N*成立，求实数c的范围．（理科做，文科不做）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设数列{an}满足：a1=
    5
    6
    ，且an=
    1
    3
    an-1+
    1
    3
    （n∈N*，n≥2）
    （1）求证：数列{an-
    1
    2
    }为等比数列，并求数列{an}的通项an；
    （2）求{an}的前n项和Sn．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设n∈N*，不等式组
    x＞0
    y＞0
    y≤-nx+2n
    所表示的平面区域为Dn，把Dn内的整点（横、纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排列成点列：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
    （1）求（xn，yn）；
    （2）设数列{an}满足a1=x1，an=
    y
    2
    n
    (
    1
    y
    2
    1
    +
    1
    y
    2
    2
    +…+
    1
    y
    2
    n-1
    )，(n≥2)    ，求证：n≥2时，
    an+1
    (n+1
    )
    2
     
    -
    an
    n
    2
     
    =
    1
    n
    2
     
    ；
    （3）在（2）的条件下，比较(1+
    1
    a1
    )(1+
    1
    a2
    )…(1+
    1
    an
    )    与4的大小．

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