Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n；且向量

a

=(n，Sn)，

b

=(4，n+3)共线．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）求数列{

1

nan

}的前n项和T_n＜2．

Answer 1

分析：（1）利用向量

a

=(n，Sn)，

b

=(4，n+3)共线．得到n（n+3）-4S_n=0，根据和与项的关系得证．
（2）由（1）求出a_n=1+（n-1）×

1

2

=

n+1

2

进一步求出

1

nan

=

2

(n+1)n

=2(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂项求和的方法求出和
T_n．

解答：解：（1）∵

a

=(n，Sn)，

b

=(4，n+3)共线，
∴n（n+3）-4S_n=0，
∴Sn=

n(n+3)

4

∴a1=S1=1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

n+1

2

，又a1=1满足此式，
∴an=

n+2

2

∴an+1-an=

1

2

为常数，
∴数列{a_n}为等差数列
（2）由（1）得a_n=1+（n-1）×

1

2

=

n+1

2

所以

1

nan

=

2

(n+1)n

=2(

1

n

-

1

n+1

)
∴Tn=

1

a1

+

1

2a2

+…+

1

nan

=2(1-

1

2

)+2(

1

2

-

1

3

)+…+2(

1

n

-

1

n+1

)=

2n

n+1

=2-

2

n+1

＜2

点评：求数列的前n项和，应该先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．