Question

【题目】数列{xn}满足x1=0，xn+1=﹣x2n+xn+c（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c＜0；
（Ⅱ）求c的取值范围，使{xn}是递增数列．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当c＜0时，xn+1=﹣x2n+xn+c＜xn ，
∴{xn}是单调递减数列
充分条件
当{xn}是单调递减数列时
x1=0＞x2=﹣x21+x1+c
∴c＜0
综上{xn}是从递减数列的充分必要条件是c＜0；
（Ⅱ）由（I）得，c≥0
①当c=0时，xn=x1=0，此时数列为常数列，不符合题意；
②当c＞0时，x2=c＞x1=0，x3=﹣c2+2c＞x2=c
∴0＜c＜1

0=x1≤xn＜ ， =﹣（xn+1﹣xn）（xn+1+xn﹣1），
当0＜c 时， xn﹣xn+1+1＞0xn+2﹣xn+1﹣1＜0，xn+2﹣xn+1与xn+1﹣xn同号，
由x2﹣x1=c＞0xn+1﹣xn＞0xn+1＞xn ．
= ．
当c 时，存在N使xN xN+xN+1＞1xN+2﹣xN+1与xN+1﹣xN异号，
与数列{xn}是从递减数列矛盾．
所以当0＜c 时，数列{xn}是递增数列
【解析】（Ⅰ）通过证明必要条件与充分条件，推出{xn}是从递减数列的充分必要条件是c＜0；（Ⅱ）由（I）得，c≥0，通过①当c=0时，②当c＞0时，推出0＜c＜1，当c 时，证明xn+1＞xn ． = ．当c 时，说明数列{xn}是从递减数列矛盾．得到0＜c 时，数列{xn}是递增数列．
【考点精析】本题主要考查了数列的通项公式的相关知识点，需要掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．