Question

【题目】如图，在正三棱柱中，AB＝2，由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点C1的最短路线与棱的交点记为M，求：

（Ⅰ）三棱柱的侧面展开图的对角线长.

（Ⅱ）该最短路线的长及的值.

（Ⅲ）平面与平面ABC所成二面角（锐二面角）

Answer 1

【答案】⑴；⑵,；⑶45°

【解析】

（Ⅰ）利用侧面展开法即可求出对角线长；

（Ⅱ）利用侧面展开法进行求解即可，求出DC1和的值即可；

（Ⅲ）连接DB，C1B，可证∠C1BC就是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角，在三角形C1BC中求出此角的大小．

（Ⅰ）正三棱柱的侧面展开图是长为6， 宽为2的矩形，

其对角线长为

（Ⅱ）如图，将侧面绕棱AA1, , 旋转120°使其与侧面在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接DC1交AA1于M，则DC1就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线，其长为

,

故；

（Ⅲ）连接DB，C1B，则DB就是平面C1MB与平面ABC的交线，

在△DCB中，

,

,又平面

由三垂线定理得，

就是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角（锐角），

∵侧面是正方形，，

故平面C1MB与平面ABC所成的二面角（锐角）为45°